Moving Media Model Minimi Quadrati

Maniglie Casi in cui la qualità varia dati Uno dei presupposti comuni alla base la maggior parte dei metodi di modellazione di processo. compresi lineari e non lineari almeno regressione quadrati, è che ogni punto di dati fornisce informazioni altrettanto precise sulla parte deterministica della variazione totale del processo. In altre parole, la deviazione standard del termine di errore è costante per tutti i valori del predittore o variabili esplicative. Questa ipotesi, però, chiaramente non regge, anche approssimativamente, in ogni applicazione di modellazione. Ad esempio, nei dati interlinea semiconduttore fotomaschere mostrate di seguito, sembra che la precisione delle misurazioni interlinea diminuisce all'aumentare interlinea. In situazioni come questa, quando non può essere ragionevole supporre che ogni osservazione dovrebbero essere trattati allo stesso modo, i minimi quadrati ponderati può essere spesso utilizzato per massimizzare l'efficienza della stima dei parametri. Questo viene fatto nel tentativo di dare ad ogni dati indicano la sua giusta quantità di influenza sulle stime dei parametri. Una procedura che tratta tutti i dati altrettanto darebbe punti in meno precisione di misura più influenza di quanto avrebbero dovuto e dovrebbero dare punti di alta precisione troppo poca influenza. Interlinea errore di misura Tipi di Data Model e minimi quadrati ponderati A differenza lineare e non lineare regressioni al minimo quadrato, ponderate minimi quadrati di regressione non è associato a un particolare tipo di funzione utilizzata per descrivere la relazione tra le variabili di processo. Invece, minimi quadrati pesati riflette il comportamento degli errori casuali nel modello e può essere utilizzato con funzioni che sono o lineare o non lineare nei parametri. Funziona incorporando costanti aggiuntivi non negativi, o pesi, associati a ciascun punto di dati, nel criterio di raccordo. La dimensione del peso indica la precisione delle informazioni contenute nell'osservazione associato. Ottimizzazione del criterio di raccordo ponderata per trovare le stime dei parametri permette ai pesi per determinare il contributo di ogni osservazione per le stime dei parametri finali. È importante notare che il peso per ogni osservazione è data relativi ai pesi delle altre osservazioni così diverse serie di pesi assoluti possono avere effetti identici. I vantaggi di minimi quadrati ponderati Come tutti i metodi dei minimi quadrati discussi finora, minimi quadrati ponderati è un metodo efficace che fa buon uso di piccoli insiemi di dati. Condivide anche la capacità di fornire diversi tipi di intervalli statistici facilmente interpretabili per la stima, la previsione, la calibrazione e ottimizzazione. Inoltre, come discusso in precedenza, il vantaggio principale che ponderata minimi quadrati gode rispetto ad altri metodi è la capacità di gestire situazioni di regressione in cui i punti di dati sono di qualità variabile. Se la deviazione standard degli errori casuali nei dati non è costante in tutti i livelli delle variabili esplicative, utilizzando i minimi quadrati ponderati con pesi che sono inversamente proporzionali alla varianza ad ogni livello delle variabili esplicative fornisce il parametro più precisa stima possibile. Svantaggi di minimi quadrati ponderati Il più grande svantaggio di minimi quadrati ponderati, che molte persone non sono a conoscenza, è probabilmente il fatto che la teoria alla base di questo metodo si basa sul presupposto che i pesi sono noti esattamente. Questo è quasi mai il caso in applicazioni reali, naturalmente, pesi così stimate devono essere utilizzati. L'effetto di utilizzare pesi stima è difficile da valutare, ma l'esperienza indica che le piccole variazioni nei pesi a causa di stima spesso non interessano una analisi di regressione o la sua interpretazione. Tuttavia, quando i pesi sono stimate da un ristretto numero di osservazioni replicate, i risultati di un'analisi possono essere molto male e imprevedibilmente influenzate. Ciò è particolarmente probabile che sia il caso in cui i pesi per i valori estremi del predittore o variabili esplicative sono stimati utilizzando solo poche osservazioni. È importante rimanere consapevoli di questo potenziale problema, e utilizzare solo minimi quadrati ponderati quando i pesi possono essere stimati con precisione l'uno rispetto all'altro e Carroll Ruppert (1988). Ryan (1997). Ponderata dei minimi quadrati di regressione, come gli altri metodi di minimi quadrati, è anche sensibile agli effetti di valori anomali. Se i potenziali valori anomali non vengono esaminati e trattati in modo adeguato, probabilmente avranno un impatto negativo sulla stima dei parametri e altri aspetti di una ponderata analisi dei minimi quadrati. Se un ponderati minimi quadrati di regressione realtà aumenta l'influenza di un valore anomalo, i risultati delle analisi possono essere molto inferiore a un'analisi dei minimi quadrati non ponderata. Ulteriori informazioni sui minimi quadrati ponderati corrispondono criterio può essere trovato nella sezione 4.3. La discussione dei metodi per la stima del peso può essere trovato nella sezione 4.5.Autoregressive processi di errore a media mobile (ARMA errori) e altri modelli che coinvolgono ritardi dei termini di errore possono essere stimati utilizzando istruzioni FIT e simulate o previsione utilizzando SOLVE dichiarazioni. modelli ARMA per il processo di errore sono spesso utilizzati per i modelli con residui autocorrelati. La macro AR può essere utilizzato per specificare i modelli con i processi di errore autoregressivi. La macro MA può essere utilizzato per specificare i modelli con i processi di errore a media mobile. Gli errori autoregressivi Un modello con errori autoregressivi di primo ordine, AR (1), ha la forma mentre un AR (2) processo di errore ha la forma e così via per i processi di ordine superiore. Si noti che le s sono indipendenti e identicamente distribuite e hanno un valore atteso di 0. Un esempio di un modello con un AR (2) componente e così via per processi di ordine superiore. Ad esempio, è possibile scrivere un semplice modello di regressione lineare con MA (2) errori di esempio dove MA1 e MA2 sono i parametri in movimento-media-media mobile. Si noti che RESID. Y è definito automaticamente dal PROC modello come la funzione ZLAG deve essere utilizzato per i modelli MA di troncare la ricorsione dei GAL. Questo assicura che gli errori ritardati partono da zero nella fase di latenza-priming e non si propagano valori mancanti quando le variabili fase di latenza-priming sono mancanti, e si assicura che i futuri errori sono pari a zero, piuttosto che mancare durante la simulazione o di previsione. Per ulteriori informazioni sulle funzioni di ritardo, vedere la logica sezione di Lag. Questo modello scritto utilizzando la macro MA è la seguente: generali Forma per i modelli ARMA ha può essere specificato il seguente modulo Un ARMA (p, q) Il modello generale processo ARMA (p, q) nel modo seguente: dove AR ie MA j rappresento i parametri autoregressivi e movimento-media per i vari ritardi. È possibile utilizzare qualsiasi nomi che si desidera per queste variabili, e ci sono molti modi equivalenti che la specifica potrebbe essere scritto. I processi di vettore ARMA possono essere stimati con PROC MODELLO. Ad esempio, un AR due variabili (1) Procedimento per gli errori del due variabili endogene Y1 e Y2 possono essere specificati come segue: Problemi di convergenza con ARMA modelli Modelli ARMA può essere difficile stimare. Se le stime dei parametri non sono all'interno della gamma del caso, un modelli di movimento-media durata residua crescono in modo esponenziale. I residui calcolati per osservazioni successive possono essere molto grandi oppure possono traboccare. Ciò può accadere sia perché i valori di avviamento errato sono stati utilizzati o perché le iterazioni allontanati dai valori ragionevoli. Si deve essere utilizzato nella scelta di valori iniziali per i parametri ARMA. valori di 0,001 inizio parametri ARMA solito funzionano se il modello si adatta il pozzo di dati e il problema è ben condizionata. Si noti che un modello MA spesso può essere approssimata da un modello AR di ordine superiore, e viceversa. Ciò può portare a alta collinearità in modelli misti ARMA, che a sua volta può causare gravi mal condizionata nei calcoli e l'instabilità delle stime dei parametri. In caso di problemi di convergenza, mentre la stima di un modello con i processi di errore ARMA, provare a stimare in passi. In primo luogo, utilizzare un'istruzione FIT per stimare solo i parametri strutturali con i parametri ARMA detenute sino a zero (o per le stime precedenti ragionevoli se disponibile). Successivamente, utilizzare un'altra dichiarazione FIT per stimare solo i parametri ARMA, utilizzando i valori dei parametri strutturali dalla prima esecuzione. Dal momento che i valori dei parametri strutturali sono suscettibili di essere vicini ai loro stime finali, i parametri stime ARMA potrebbero ora convergono. Infine, usare un'altra dichiarazione FIT per produrre stime simultanea di tutti i parametri. Poiché i valori iniziali dei parametri sono ora probabilmente molto vicino a loro stime congiunte finali, le stime dovrebbero convergere rapidamente se il modello è appropriato per i dati. AR condizioni iniziali i ritardi iniziali dei termini di errore di AR modelli (P) possono essere modellati in vari modi. L'errore metodi di avvio autoregressive supportati da procedure SASETS sono i seguenti: condizionali minimi quadrati (ARIMA e procedure modello) incondizionati minimi quadrati (autoreg, Arima, e le procedure di modello) di massima verosimiglianza (autoreg, Arima, e le procedure MODELLO) Yule-Walker (autoreg unico procedimento) Hildreth-Lu, che cancella le prime osservazioni p (procedura di modello), vedere il Capitolo 8, la procedura autoreg, per una spiegazione e discussione dei meriti dei vari metodi AR (p) di avvio. Le inizializzazioni CLS, ULS, ML e HL possono essere eseguite da PROC MODELLO. Per AR (1) errori, queste inizializzazioni possono essere prodotte come mostrato nella Tabella 18.2. Questi metodi sono equivalenti in grandi campioni. Tabella 18.2 Inizializzazioni Realizzate dal PROC modello AR (1) ERRORI i ritardi iniziali dei termini di errore di MA (q) i modelli possono anche essere modellati in modi diversi. Il seguente errore media mobile paradigmi di start-up sono supportati dal procedure modello ARIMA e: incondizionati minimi quadrati condizionali dei minimi quadrati Il condizionale metodo dei minimi quadrati per stimare termini di errore a media mobile non è ottimale perché ignora il problema di start-up. Questo riduce l'efficienza delle stime, pur rimanendo imparziale. I residui ritardati iniziali, estendendo prima dell'inizio dei dati, vengono considerati 0, il valore atteso incondizionata. Questo introduce una differenza tra questi residui e le generalizzate dei minimi quadrati residui per la covarianza media mobile, che, a differenza del modello autoregressivo, persiste attraverso il set di dati. Solitamente questa differenza converge rapidamente a 0, ma per processi a media mobile quasi noninvertible la convergenza è piuttosto lento. Per minimizzare questo problema, si dovrebbe avere un sacco di dati, e le stime dei parametri a media mobile dovrebbe essere ben all'interno della gamma invertibile. Questo problema può essere risolto a scapito di scrivere un programma più complesso. Unconditional minimi quadrati stime per la (1) processo MA possono essere prodotte specificando il modello come segue: gli errori di media mobile possono essere difficili da stimare. Si dovrebbe considerare l'utilizzo di una approssimazione AR (p) per il processo di media mobile. Un processo a media mobile di solito può essere ben approssimato da un processo autoregressivo se i dati non sono stati levigati o differenziata. La macro AR La macro AR SAS genera le istruzioni di programmazione per PROC MODELLO per i modelli autoregressivi. La macro AR fa parte del software SASETS, e nessuna opzione particolare deve essere impostato per utilizzare la macro. Il processo autoregressivo può essere applicato agli errori equazioni strutturali o alla serie endogena stessi. La macro AR può essere utilizzato per i seguenti tipi di autoregressione: senza restrizioni autoregressione vettoriale limitato autoregressione vettoriale univariata Autoregressione Per modellare il termine di errore di un'equazione come un processo autoregressivo, utilizzare la seguente dichiarazione dopo l'equazione: Per esempio, supponiamo che Y è un funzione lineare di X1, X2, e un (2) errore AR. Si potrebbe scrivere questo modello come segue: Le chiamate verso AR devono venire dopo tutte le equazioni che il processo applicato. Il precedente macro invocazione, AR (y, 2), produce le dichiarazioni indicate in uscita LISTA nella Figura 18.58. Figura 18.58 lista di output opzione per un AR (2) Modello La PRED prefisso variabili sono variabili del programma temporanei utilizzati in modo tale che i ritardi dei residui sono i residui corrette e non quelli ridefinito da questa equazione. Si noti che questo è equivalente alle dichiarazioni esplicitamente scritto nella sezione forma generale per i modelli ARMA. È inoltre possibile limitare i parametri autoregressivi a zero al GAL selezionati. Ad esempio, se si voleva parametri autoregressivi a ritardi 1, 12, e 13, è possibile utilizzare le seguenti istruzioni: Queste dichiarazioni generano l'output mostrato nella Figura 18.59. Figura 18.59 lista di output opzione per un modello AR con Ritardi a 1, 12, e 13 MODELLO procedura di quotazione di compilato Privacy Codice di programma come Parsed PRED. yab x1 c x2 RESID. y PRED. y - ACTUAL. y ERROR. y PRED. y - y OLDPRED. y PRED. y yl1 ZLAG1 (y - PREDY) yl12 ZLAG12 (y - PREDY) yl13 ZLAG13 (y - PREDY) RESID. y PRED. y - ACTUAL. y ERROR. y PRED. y - y ci sono variazioni sul metodo dei minimi quadrati condizionale, a seconda che osservazioni all'inizio della serie sono usati per riscaldare il processo AR. Per impostazione predefinita, il condizionale metodo dei minimi quadrati AR utilizza tutte le osservazioni e assume zeri per i ritardi iniziali dei termini autoregressivi. Utilizzando l'opzione M, è possibile richiedere che AR utilizzare i minimi quadrati incondizionati (ULS) o metodo della massima verosimiglianza (ML), invece. Ad esempio, discussioni di questi metodi è fornito nella sezione AR condizioni iniziali. Utilizzando l'opzione n MLCS, è possibile richiedere che i primi n osservazioni essere utilizzati per calcolare le stime dei ritardi autoregressivi iniziali. In questo caso, l'analisi inizia con l'osservazione n 1. Ad esempio: È possibile utilizzare la macro AR per applicare un modello autoregressivo alla variabile endogena, anziché al termine di errore, utilizzando l'opzione TYPEV. Ad esempio, se si desidera aggiungere i cinque ritardi passate di Y per l'equazione nell'esempio precedente, è possibile utilizzare AR per generare i parametri e ritardi utilizzando le seguenti istruzioni: Le istruzioni precedenti generano l'output mostrato nella Figura 18.60. Figura 18.60 lista di output opzione per un modello AR di Y Questo modello prevede Y come una combinazione lineare di X1, X2, un'intercettazione, ed i valori di Y nel più recente cinque periodi. Imprendibile autoregressione vettoriale per modellare i termini di errore di un insieme di equazioni come un processo autoregressivo vettoriale, utilizzare il seguente modulo della macro AR dopo le equazioni: Il valore ProcessName è un nome che si fornisce per AR da utilizzare nel fare i nomi per la autoregressivo parametri. È possibile utilizzare la macro AR per modellare diversi processi AR diversi per diversi insiemi di equazioni utilizzando i nomi di processo diversi per ogni set. Il nome del processo assicura che i nomi delle variabili utilizzati sono unici. Utilizzare un valore ProcessName breve per il processo se stime dei parametri devono essere scritti in un set di dati di uscita. La macro AR tenta di costruire nomi di parametri inferiori o uguali a otto caratteri, ma questa è limitata dalla lunghezza del ProcessName. che viene utilizzato come prefisso per i nomi dei parametri AR. Il valore variablelist è l'elenco delle variabili endogene per le equazioni. Ad esempio, supponiamo che errori per equazioni Y1, Y2, Y3 e sono generati da un processo vettoriale autoregressivo del secondo ordine. È possibile utilizzare le seguenti istruzioni: che generano i seguenti per Y1 e codice simile per Y2 e Y3: solo i minimi quadrati condizionali metodo (MLCS o MLCS n) possono essere utilizzati per i processi di vettore. È inoltre possibile utilizzare lo stesso modulo con restrizioni che la matrice dei coefficienti essere 0 a GAL selezionati. Ad esempio, le istruzioni seguenti valgono un processo vettoriale terzo ordine agli errori equazione con tutti i coefficienti a lag 2 limitato a 0 e con i coefficienti a ritardi 1 e 3 senza limitazioni: È possibile modellare la Y1Y3 tre serie come processo autoregressivo vettoriale nelle variabili anziché negli errori utilizzando l'opzione TYPEV. Se si vuole modellare Y1Y3 in funzione dei valori passati di Y1Y3 e alcune variabili esogene o costanti, è possibile utilizzare AR per generare le istruzioni per i termini di lag. Scrivere un'equazione per ogni variabile per la parte nonautoregressive del modello, e quindi chiamare AR con l'opzione TYPEV. Ad esempio, la parte nonautoregressive del modello può essere una funzione di variabili esogene, oppure può essere parametri di intercettazione. Se non vi sono componenti esogene al modello autoregressione vettoriale, inclusi senza intercettazioni, quindi assegnare zero a ciascuna delle variabili. Ci deve essere un'assegnazione a ciascuna delle variabili prima AR è chiamato. In questo esempio i modelli Y vettore (Y1 Y2 Y3) come una funzione lineare solo del suo valore negli ultimi due periodi e nero vettore errore di rumore. Il modello dispone di 18 (3 3 3 3) i parametri. Sintassi del Macro AR Ci sono due casi di sintassi della macro AR. Quando non sono necessarie restrizioni su un processo AR vettore, la sintassi della macro AR ha la forma generale specifica un prefisso per AR da utilizzare nella costruzione di nomi di variabili necessarie per definire il processo di AR. Se il endolist non viene specificato, l'elenco endogene default nome. che deve essere il nome dell'equazione a cui deve essere applicato il processo di errore AR. Il valore del nome non può superare i 32 caratteri. è l'ordine del processo AR. specifica l'elenco di equazioni in cui il processo AR deve essere applicata. Se viene dato più di un nome, un processo vector illimitata viene creato con i residui strutturali di tutte le equazioni inclusi come regressori in ciascuna delle equazioni. Se non specificato, di default endolist dare un nome. specifica la lista di ritardi con cui i termini AR sono da aggiungere. I coefficienti dei termini a non GAL elencati sono impostati a 0. Tutti i GAL elencati deve essere inferiore o uguale a nlag. e non ci devono essere duplicati. Se non specificato, le impostazioni predefinite laglist a tutti i GAL 1 a nlag. specifica il metodo di stima da implementare. I valori validi di M sono CLS (condizionali minimi quadrati stime), ULS (incondizionati minimi quadrati stime), e ML (stime di massima verosimiglianza). MLCS è l'impostazione predefinita. Solo MLCS è consentito quando viene specificato più di una equazione. I metodi ULS e ML non sono supportati per i modelli vettore AR da AR. specifica che il processo AR deve essere applicata alle variabili endogene stessi anziché ai residui strutturali delle equazioni. Limitato autoregressione vettoriale È possibile controllare quali parametri sono inclusi nel processo, limitandosi a 0 quei parametri che non non include. In primo luogo, utilizzare AR con l'opzione DEFER per dichiarare l'elenco delle variabili e definire la dimensione del processo. Poi, uso supplementare AR chiama per generare i termini per equazioni selezionati con variabili selezionate al GAL selezionati. Ad esempio, le equazioni di errore prodotti sono i seguenti: Questo modello afferma che gli errori di Y1 dipendono errori sia di Y1 e Y2 (ma non Y3) sia in ritardo rispetto 1 e 2, e che gli errori di Y2 e Y3 dipendono gli errori precedenti per tutte e tre le variabili, ma solo in ritardo 1. AR Macro sintassi per ristretta vettore AR un uso alternativo di AR è consentito di imporre restrizioni su un processo AR vettore chiamando AR più volte per specificare diversi termini AR e rallentamenti per diversi equazioni. La prima chiamata ha la forma generale specifica un prefisso per AR da utilizzare nella costruzione di nomi di variabili necessarie per definire il processo di AR vettore. specificare l'ordine del processo AR. specifica l'elenco di equazioni in cui il processo AR deve essere applicata. specifica che AR non è quello di generare il processo di AR, ma è quello di attendere ulteriori informazioni di cui in seguito AR richiede lo stesso valore del nome. Le chiamate successive hanno la forma generale è la stessa come nella prima chiamata. specifica l'elenco di equazioni per cui specifiche in questa chiamata AR da applicare. Solo nomi specificati nel valore endolist del primo invito a presentare il valore del nome possono apparire nella lista di equazioni in eqlist. Specifica l'elenco di equazioni la cui ritardata strutturale residui devono essere inclusi come regressori nelle equazioni in eqlist. Solo i nomi nel endolist del primo invito a presentare il valore del nome possono apparire nella lista-variabili. Se non specificato, di default lista-variabili a endolist. specifica la lista di ritardi con cui i termini AR sono da aggiungere. I coefficienti dei termini in ritardi non elencati sono impostati a 0. Tutti i ritardi elencati devono essere minore o uguale al valore di nlag. e non ci devono essere duplicati. Se non specificato, di default laglist a tutti i GAL 1 a nlag. La macro MA La macro MA SAS genera le istruzioni di programmazione per PROC modello per i modelli in movimento-media. La macro MA è parte del software SASETS, e senza opzioni speciali sono necessarie per utilizzare la macro. Il processo di errore a media mobile può essere applicato agli errori equazioni strutturali. La sintassi della macro MA è la stessa della macro AR eccezione che non c'è argomentazione TYPE. Quando si utilizza il MA e macro AR combinati, la macro MA deve seguire la macro AR. Le seguenti dichiarazioni SASIML producono una ARMA (1, (1 3)) processo di errore e salvarlo nella MADAT2 set di dati. Le seguenti dichiarazioni PROC modello vengono utilizzati per stimare i parametri di questo modello, utilizzando la massima struttura di errore verosimiglianza: Le stime dei parametri prodotti da questa corsa sono illustrati nella Figura 18.61. Figura 18.61 Le stime da un ARMA (1, (1 3)) processo ci sono due casi di sintassi per la macro MA. Quando non sono necessarie restrizioni su un processo MA vettore, la sintassi della macro MA ha la forma generale specifica un prefisso per MA da utilizzare nella costruzione di nomi di variabili necessarie per definire il processo di MA ed è il endolist predefinita. è l'ordine del processo MA. specifica le equazioni per cui il processo MA deve essere applicato. Se viene dato più nomi, la stima CLS viene utilizzato per il processo vettoriale. specifica i ritardi con cui i termini MA sono da aggiungere. Tutti i ritardi di cui deve essere minore o uguale a nlag. e non ci devono essere duplicati. Se non specificato, le impostazioni predefinite laglist a tutti i GAL 1 a nlag. specifica il metodo di stima da implementare. I valori validi di M sono CLS (condizionali minimi quadrati stime), ULS (incondizionati minimi quadrati stime), e ML (stime di massima verosimiglianza). MLCS è l'impostazione predefinita. Solo MLCS è consentita quando più di una equazione è specificato nel endolist. MA Macro Sintassi per ristretta Vector media mobile un uso alternativo di MA è permesso di imporre restrizioni su un processo MA vettore chiamando MA più volte per specificare diversi termini MA e ritardi per le diverse equazioni. La prima chiamata ha la forma generale specifica un prefisso per MA da utilizzare nella costruzione di nomi di variabili necessarie per definire il processo MA vettore. specificare l'ordine del processo MA. specifica l'elenco di equazioni in cui il processo MA deve essere applicata. specifica che MA non è quello di generare il processo MA, ma è quello di attendere ulteriori informazioni di cui in seguito MA richiede lo stesso valore del nome. Le chiamate successive hanno la forma generale è la stessa come nella prima chiamata. specifica l'elenco di equazioni per cui specifiche in questa chiamata MA da applicare. Specifica l'elenco di equazioni la cui ritardata strutturale residui devono essere inclusi come regressori nelle equazioni in eqlist. specifica la lista di ritardi con cui i termini MA devono essere added.8.4 modello a media mobile Invece di utilizzare valori passati della variabile tempo in una regressione, un modello di media mobile utilizza errori di previsione del passato in un modello di regressione-like. y c et theta e theta e puntini theta e, dove et è rumore bianco. Ci riferiamo a questo come un modello MA (q). Naturalmente, noi non osserviamo i valori di et, quindi non è davvero una regressione nel senso comune. Si noti che ogni valore di yt può essere pensato come una media mobile ponderata degli ultimi pochi errori di previsione. Tuttavia, modello a media mobile non deve essere confuso con lo spostamento di smoothing media abbiamo discusso nel capitolo 6. Un modello a media mobile viene utilizzato per prevedere i valori futuri mentre si muove smoothing media viene utilizzato per stimare l'andamento del ciclo dei valori del passato. Figura 8.6: Due esempi di dati da modello a media mobile con parametri diversi. Sinistra: MA (1) con y t 20e t 0.8e t-1. A destra: MA (2) con y t e t - e t-1 0.8e t-2. In entrambi i casi, e t è normalmente distribuito rumore bianco a media nulla e varianza uno. Figura 8.6 mostra alcuni dati da un MA (1) modello e un (2) il modello MA. La modifica dei parametri theta1, punti, risultati thetaq in diversi modelli delle serie storiche. Come per i modelli autoregressivi, la varianza del termine di errore et cambierà solo la scala della serie, non gli schemi. È possibile scrivere qualsiasi modello stazionario AR (p) come modello MA (infty). Ad esempio, utilizzando la sostituzione ripetute, possiamo dimostrare questo per un AR (1) Modello: iniziare YT amp phi1y et amp phi1 (phi1y e) et amp phi12y phi1 E et amp phi13y phi12e phi1 E et amptext fine fornito -1 lt phi1 lt 1, il valore di phi1k otterrà più piccolo come k diventa più grande. Così alla fine si ottiene YT et phi1 e phi12 e phi13 e cdots, un (infty) processo MA. Il risultato inverso vale se imponiamo alcuni vincoli sui parametri MA. Poi il modello MA è chiamato invertibile. Vale a dire, che possiamo scrivere qualsiasi processo invertibile MA (q) come un processo AR (infty). modelli invertibili non sono semplicemente ci permettono di convertire da modelli MA a AR modelli. Hanno anche alcune proprietà matematiche che li rendono più facili da utilizzare nella pratica. I vincoli invertibilità sono simili ai vincoli di stazionarietà. Per un MA (1) Modello: -1lttheta1lt1. Per un MA (2) Modello: -1lttheta2lt1, theta2theta1 gt-1, theta1 - theta2 lt 1. condizioni più complesse valgono per qge3. Anche in questo caso, R si prenderà cura di questi vincoli nella stima dei modelli.